对初中数学能力把握的几点认识

叶锦义

(上海市普陀区教育学院，上海200063)

[关键词] 初中数学；基本能力；综台能力 数学思想 ；解题能力

[摘要] 本文就初中数学基本能力和综合能力的理解和要求，提出了几点认识， 指出数学思想对于数学知识、数学的方法技巧、数学运算等具有统摄作用．所以要培养学生运用数学思想解决数学问题的能力

[文献标识码] A   [文章编号] 1002—5308(2000)04-0028-04  [中圈分类号]G633．6

 

在大力推进素质教育的今天，人们对培养学生能力的同题越来越关注。在初中数学学科教学中，广大教师认识到素质教育的要求应该在数学教学中得到强有力的体现，而这种体现在很大程度上取决于对学生数学能力的培养。根据义务教育的特点，初中数学的能力可以分为两争层面：第一个层面是数学的基本能力，它是基础性学力的层面；第二个层面是数学综合能力层面，它是发展性学力的层面。诚然，无论数学的基本能力还是数学的综合能力都需要以数学基础知识、基本技能为基础；反过来，数学的基本能力、综合能力的习得使数学基础知识、基本技能的掌握更为扎实、巩固，应用更自如。下面就对初中数学的基本能力和综合能力的理解与要求，提出几点认识。

 

一、数学基本能力的理解及要求

初中阶段，数学基本能力指的是基本的运算能力、思维能力、空问想象能力以及体现数学与生产、生活、相关学科相联系的基本应用能力。这些能力是完成九年制义务教育的合格初中毕业生所必须具备的。

所谓基本运算能力，是指不仅会根据法则、公式等正确地运算，而且理解运算的算理．能够根据题目条件寻求合理简捷的运算途径；是指能驾驭非繁复的数学运算的能力。检测基本运算能力的方面有：① 实数运算；② 代数式运算(包括整式、分式、根式运算)；③ 因式分解；④ 指数运算；⑤ 与函数有关的运算；⑥ 锐角三角比运算；⑦ 解方程及列方程解应用题；③ 解一元一次不等式及一元一次不等式组；⑨ 最基本的几何计算。对基本运算能力的要求是：正确、合理、迅速．要有扎实的基本功。

但是，对繁复的运算不作要求，因此我们在复习时，应当适当控制运算难度，在提高运算的准确率方面多下工夫，在此基础上进一步要求运算的合理、迅速。

所谓基本的思维能力，是指会观察、比较、分析、综合、抽象和概括；会用归纳、演绎和类比进行推理；会准确地阐述自己的思想和观点，形成良好的思维品质。初中阶段，基本的逻辑推理能力是思维能力的主要构成成分 基本的逻辑推理能力主要是指这样一种能力：对不需添置辅线或只添置常用辅助线(这种辅助线在教材中明显出现过)便可证明的基本几何证明题，能够用分析法寻求证题思路，并用综合法写出证题过程。这类基本证明题主要是证明线段、角的相等，直线的垂直关系、平行关系，三角形的全等或相似关系t或者证明图形是平行四边形(包括矩形、菱形、正方形)、梯形(包括等腰梯形、直角梯形)，以及证明线段的比例关系、直线和圆的相切关系等等。对基本逻辑推理能力的要求是：逻辑关系表达清楚、简洁，“关节点”交代清楚，不跳关键步子，推理的依据应是九年制义务教育初中数学教材范围内的定义、公理、定理

所谓基本的空间想象能力，指的就是空间观念，能够由形状简单的实物想象出几何图形，由几何图形想象出实物形状；由较复杂的平面图形分解出简单的、基本的图形，在基本的图形中找出基本元素及其关系；能够根据条件作出或画出平面图形及基本的空闻图形。初中阶段．空间观念具体地指用数轴表示不等式及不等式组的解集；由已知函数关系式，寻求函数的性质；观察图形，估计有关几何对象的位置和大致的数量关系；用直尺、圆规、量角器、三角板等工具画几何图形，用直尺、圆规作图(包括五个基本作图、三个基本轨迹的作图、教材中的简单的尺规作图题等等)。

基本应用能力指的是能够解决带有实际意义和相关学科中的数学问题，以及解决生产和日常生活中的实际闻题。初中阶段，主要体现在则方程解应用题、解直角三角形的应用、统汁知识的应用、函数知识的应用以及几何中相似形、圆的知识有关的实际应用，尤其是以数学为工具来解决一些生活(如商业、经济等方面)和生产建设(如增长率、测量等)的实际间题。秘前要加强数学应用能力的考查已逐渐为大家所关注。

 

二 、数学综台能力的理解及要求

所谓数学的综合运用能力，主要指能应用代数知识、几何知识结台起来解决问题的能力；能应用数学知识和方法解决现实生活中的实际问题(通常称为“问题解决”)的能力i能运用基本数学思想解决含有一种或多种数学思想的数学问题的能力；能解决一些比较简单的研究型探索型、开放型问题的能力，在同一个问题中，有时会需要用到不止上述几方面能力中的一种，往往需要用上述多方面的能力，有时还会用到与数学相关连的其他学科知识，涉及到一般的能力。这正是反映了阁题的综台性．因此．数学的综合运用能力反映出一个人的数学素质和素养状况。正是由于这一点，数学的综合运用能力不可能一蹴而就，而需要积累，需要较长时间的培养，才能提高。

上面所提到的四个方面的能力是从不同的方位提出的，但是它们之间有关联、有交叉。例如一个以几何图形作为母体的综合题，它用到了代数中的方程知识，作为知识的综台来说．它应用了代数、几何两个分支的知识；就其数学思想来说，很可能用到了方程的思想，形、数结合的思想、化归思想等。况且这种综合题还可以是开放型的，或者是现实生活中的实际问题。我们经常遇见的综合运用，大致在这四个方面。因此下面对这四方面的能力加以阐述。

1. 应用代数知识，几何知识结合起来解决问题的能力

有些数学阃题所用到的知识不局限于代数 几何中的一个分支 需要用到代数、几何两个分支的知识。如果把三角从几何或代数中分离出来也算一支的话，有时需要用到代数、几何、三角三个分支的知识。这些数学问题往往体现知识上的综合性。主要考察学生综合运用知识的能力。传统的数学综合题大多是属于这一种类型的问题。

要解好这类问题需要有扎实的基础t平时注意前后的知识联系，也要注意不同分支知识间的横向联系，平时多注意“小综合”，才能适应需要时的“大综合”。

这类问题的特征是“知识的综合，分支的综合”，它可 渗透数学思想，但不是以体现数学思想为主要特征。

这类问题大致有两种情况：一种是母体为代数问题，辅以几何知识综合而成；另一种是母体为几何闯题，辅以代数知识而成。在前一类阃题中，代数母体大多以方程和函数问题为主干，在后一类问题中几何母体以三角形、特殊四边形、圆或者它们的组合图形为主干；这些内容都是初中数学的核心内容，因此我们要培养应用代数知识、几何知识结合起来解决问题的能力，学好这些核心内容，熟悉它们之问的互相联系．是必不可少的前提 在具体解决这类问题时，要善于将这类问题进行分解，使它们成为一个个小问题，单一的问题，突破其中一个或几个．整个问题的解决就不难了

2．运用数学知识和方法解决现实生活巾实际问题的能力

这种能力是数学教学重要目标之一，体现出数学的应用性，如果说前面一种能力只是解决数学“内部”的问题，那么这种能力就是要用数学柬解决“外部”的同题，这种实际问题应该是人们生活中会遇到的，甚至可以是“熟视无睹”的问题，可以是与物理、化学、生物等其他学科有联系的现实问题，需要借助数学知识与方法(数学模型)．并以此知识与方法才能实现真正的解决问题。这也就是通常所说的“问题解决”的能力。

我们这里所说的解决现实生活中的实际问题，并不是课本中“应用题”那样一种练习或习题，而是有实际背景，对学生而言是一种新的情境，新的问题，需要学生经过对已学的知识、方法进行新的重组或构建才能解决，而不是应用现成的模式、程序可以轻而易举解决的．这就是通常所说的“问题解决”中的问题。当然，这样的问题解决平时也得有常规的应用题的练习或习题作基础。况且，“问题解决”中的问题当学生一旦熟悉乃至“熟练”后，又将成为新的练习或习题了。因此，不能将两者截然对立起来。

对于这一类现实生活中的实际问题，我们的策略应当是：让学生学会从这种实际问题中“剥离”出“数学问题”，把它转化为用一定的数学知识及方法形成某种“数学模型”(如方程模型、函数模型等)，通过解决这种数学模型问题从而达到解决实际问题 这里的核心往往是符合某种等量关系(或不等关系)从而建立符台这种关系的等式(或不等式)。要实施这种正确的 剥离”，首先要学会认识实际问题，熟悉实际问题。因此应该让学生熟悉一些现实生活中含数学事物如储蓄、按揭、保险、市场、房产……等一些与现实生活贴切的东西，让他们知道一些大概，这是解决实际问题所必须的．其次要通过典型例题的剖析．让学生自己领悟规律，融会贯通。

3．运用教学思想解决数学问题的能力

数学思想就是数学的基本观点，是对数学概念、数学方法和数学发现的本质认识，如果把数学中的方法、技能技巧看作整个数学“经书”中的“小乘”的话．那么数学思想就是数学“经书”中的“大乘”了。以解题为例，它需要数学知识、运算能力、思维判断、方法技巧，但是重要的解题需要有一定的思想指导。只有十分明确了在解题时哪些数学思想起了“领航”的作用，才能在高视点的指导下完成解题，才能建立一个完善的解题结构与解题系统，我们认为，数学思想对于数学知识、数学的方法技巧、数学运算等都具有统摄作用。

很多学生做了许多的题目，即使上百道同类题目，但还是做不了下一个同类型的题目。原因有多种，但其中最主要的原因就是学生不注重对题目的分析。不注意解题时用什么思想去指导；题目解出来后又不去总结是用什么思想指导解决的。这种现象同样也反映在不少教师身上：解题时不注重对题目的思路分析，不注重阐述以什么思想去指导思路；解题完毕后不注重对解蹈过程中数学思想的总结．特别是让学生去体验，总结。所以尽管老师让学生作了上百道的同类题，当另一个同类题考不出时只责怪学生“笨”，而不去反省自己对数学思想的熏陶做得如何。

由于数学思想是对数学概念、知识、方法、技巧的本质认识和整体把握，是数学素质、素养的极端重要的标志，因此对数学思想的考查就显得十分重要t这也是素质教育所需要的。

初中阶段，基本的数学思想有：① 字母表示数的思想；② 方程思想}③ 变量、函数思想；④ 数形结合思想；⑤ 分类讨论思想；⑥ 图形运动思想；⑦ 分解组合思想；⑧ 化归思想。

4．能解决较简单的研究型、探索型、开放型问题的能力

所谓研究型、探索型、开放型问题，一般是相对于封闭型的数学问题而言的，它的形式多种多样．难于全面地、完整地概括。但是这一类问题具有共同的特征，那就是需要观察、尝试、类比、归纳、猜测、自主设计等探索研究活动，需要把这类活动与理性论证结台起来，即把直觉思维与逻辑思维结合起来。因此这一类数学问题的解决过程中的各种活动具有科学方法的作用．富有创造发现的意义，对于数学素质的提高和科学实践能力的培养具有重要的价值。正由于这种认识，因此对于研究型、探索型、开放型问题的解题训练引起了大家的充分重视。

研究型、探索型、开放型的数学问题一般符合下列特征之一：

① 给出条件，但没有明确的结论，或者结论不确定；

② 给出结论，但没有给出或者全部给出应具备的条件{

③ 先对问题的特殊情况进行研究，再要求归纳、猜测和证明一般结论；

④ 先对某一给定条件和结论的问题进行研究，再探讨改变条件时其结论发生的相应变化，或者改变结论时其条件发生的相应变化}

⑤ 问题的条件及解决问题的要求或者方向明确，但解决问题的过程或者方案线索的给出需要解题人自主设计；

⑥ 解题方法需要独立创新。

当我们把握了研究型、探索型、开放型的数学问题的特征，积累了一定的解题经验后，当我们总结了这类数学问题解决的典型规律后，这类较简单的研究型、探索型、开放型的数学问题就不是高不可攀了。

 

Several opinions on junior school mathematics ability

YE Jin - yi

(The Education Institute or Putuo District．Shanghai 200097，China)

Key word： junior mathematics; basic ability; synthesis ability; mathematics thoughts;

problem solving ability

Abstract：This essay discusses on the basic ability and synthesis ability． It think the

mathematics thoughts have a govern function over mathematics knowledge， mathematics

skills，mathematics operation． So it is important to cultivate student’s ability to use mathematics thoughts to solve mathematics problem s．

 

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